#数楽 もしかしたら、位相幾何版の角谷の不動点定理(Brouwerの不動点定理の一般化)を使ったせいで、何か直観的に意味不明なことをやっているように感じた人が多いかもしれない。しかし、角谷やBrouwerの不動点定理は直観的には当然成立するべき定理なので実際にはそうではない。

#数楽 ブラウワーの不動点定理と位相幾何版の角谷の不動点定理はそれらが成立しないと同じ方法で「ありえない連続写像」を作れてしまうことによって証明可能。どのような連続写像が「ありえない」かについては直観的に納得可能。続くhttps://twitter.com/genkuroki/status/841120263743848448 …

#数楽 位相幾何では図形の「繋がり具合」を問題にするのですが、厚みがない図形に厚みをつけたり([0,1]と直積を取る)、厚みを無くしたり、毛を生やしたり、毛を剃ったり、……の操作で変化しない「繋がり具合」を扱うことが極めて普通によくある。ホモトピー同値の目で図形を眺めること。

#数楽 強力なホモトピー同値的な「目」を持っている人にはBrouwerの不動点定理とKakutaniの不動点定理の区別がつかない可能性もあると思う。

#数楽 角谷の不動点定理について検索すると経済学への応用がたくさんヒットするのですが、不動点定理の類の道具が何か高級な道具のような扱いになっていて、「直観的には当然そうなるべきなので、当然成立そうなると考えて先に進む」というスタイルの解説を見付けることができませんでした。続く

#数楽 続き。数学を応用するときには、数学的結果を「ブラックボックス的」に扱って「よくわからない結果を正確に応用する」という態度では不健全になりやすいと思う。「直観的に当然そうなるべき結果」という扱いで応用する場合の方が健全でわかりやすい議論になりやすいと思う。

#数楽 Brouwerの不動点定理およびその角谷的一般化の類は、数学的に厳密な証明を知らなくても、直観的に当然成り立つべき結果だと感じられるような話なので、応用するときにはそういう態度で精神的に気軽に応用して欲しいと思いました。

#数楽 数学者が書いた教科書に数学的に厳密な証明が書いてあることは不思議でも何でもないし、数学者はそういう文献を生産する社会的役割を担っていると思うのですが、数学を応用することを専門としている人達が直観的に明らかな理由の説明よりも厳密な証明の説明の方を優先するのはおかしいと思う。

#数楽 しかし、へたをするとテキトーなことを言っていると思われてしまうような直観的な説明の仕方を躊躇無くできるためには、論理的スキルに自信がないと難しいと思う。やはり人間、間違うのは怖いです。しかし、そういう理由で厳密な証明の説明しかしないのはとても不健全だと思う。